Propriedades trigonométricas em triângulos Pitagóricos

Resumo

O objetivo central deste artigo é responder a seguinte pergunta "Existe um triângulo retângulo com lados e ângulos (em graus) inteiros?" O célebre Teorema de Pitágoras estabelece que os lados de um triângulo retângulo satisfazem a equação $a^2 + b^2 =  c^2$. Uma terna de números inteiros $(a, b, c)$ satisfazendo essa equação é chamada de Tripla Pitagórica. Propriedades trigonométricas dos ângulos agudos desses triângulos motivam a definição de ângulos pitagóricos, que são ângulos tais que o seno e o cosseno são racionais. É mostrado que os únicos ângulos pitagóricos com medida inteira em graus são múltimos de 90º. A demonstração dada aqui é elementar e utiliza apenas relações trigonométricas e divisibilidade, podendo ser apresentada para um estudante de nível médio. Por fim, mostra-se que o conjunto dos ângulos pitagóricos é denso na reta.