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%#########################################################################################
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%#########################################################################################

\pagestyle{myheadings}

%definindo a tamanho dos espaços
\setlength{\topmargin}{1.5cm}
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\setlength{\textwidth}{14cm}
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\setlength{\evensidemargin}{1.5cm}

\begin{document}

%cria o cabeçalho das páginas com nome da revista e dos autores
\markboth{Revista Ciências Exatas e Naturais, Vol.XX, nºX, Jul/Dez, 201X}{\emph{AUTOR 1 e AUTOR 2}}

\begin{center}
%Capa

%Titulo e titulo traduzido
\vspace{-2.5cm}
{\large \textbf{Cálculo de pontos de orvalho em misturas binárias com vaporização retrógrada dupla via otimização global}}\\
\vspace{1cm}
{\large \textbf{Calculation of dew points in binary mixtures with double retrograde vaporization by global optimization}}\\
\vspace{1cm}

%Autores
\textbf{Autor 1}\\
Universidade 1 - SIGLA, Cidade, UF\\
\emph{email do autor 1}\\
\vspace{0.5cm}
\textbf{Autor 2}\\
Universidade 2 - SIGLA, Cidade, UF\\
\emph{email do autor 2}\\


\end{center}

\thispagestyle{empty} %Não enumera a capa


\noindent \textbf{Resumo:} Vaporização retrograda dupla é um fenômeno termodinâmico que comumente surge na vizinhança de um ponto crítico de
transição de fase de sistemas do tipo multicomponente. Em tais casos, o envelope de fases apresenta uma curva de ponto de orvalho com um formato
atípico, assemelhando-se a um ``S". A predição desse fenômeno é importante na simulação de diferentes processos da engenharia, incluindo a
recuperação terciária de petróleo. O presente trabalho mostra que o algoritmo PSO, equipado com uma técnica de polarização para problemas
multimodais, é capaz de determinar de maneira robusta a ocorrência de vaporização retrograda dubla em onze misturas binárias previamente
estudadas na literatura.
\\
%O resumo deve conter 50 a 200 palavras em um único parágrafo indicando de forma concisa o que foi feito, como foi feito, principais resultados e seus significados.

%-------------------------------------------------------------------------
%Inicial minúscula; Separação por ponto e vírgula; Ponto final.
\noindent {\bf Palavras-chave:} Vaporização retrógrada dupla; Curva de ponto de orvalho; Misturas binárias.
\\

%--------------------------------------------------------------------------

\noindent \textbf{Abstract:} Double retrograde vaporization is a thermodynamic phenomenon that commonly arises in the vicinity of a critical
point of multicomponent systems. In such cases, the phase envelope has a dew point curve with an atypical shape, resembling an ``S". The
prediction of this phenomenon is important in the simulation of different engineering processes, including tertiary oil recovery. This work
shows that the PSO algorithm, equipped with a polarization technique for multimodal problems, is capable of robustly determining the occurrence
of double retrograde vaporization in eleven binary mixtures previously studied in the literature.\\

%-------------------------------------------------------------------------
%Inicial minúscula; Separação por ponto e vírgula; Ponto final.
\noindent {\bf Key words:} Double retrograde vaporization; Curve point dew; Binary mixtures.

\section{Introdução}

O fenômeno conhecido como Vaporização Retrógrada Dupla (VRD) foi inicialmente identificado nos sistemas binários 
formados por metano + n-butano \cite{REF1}
e metano + n-pentano \cite{REF2} sob temperaturas próximas da temperatura crítica do metano (puro). 
A VRD é um fenômeno termodinâmico onde, ao invés de uma usual curva de ponto de orvalho, o lugar geométrico 
dos pontos de orvalho apresenta um domo duplo, em temperaturas ligeiramente acima da temperatura crítica do componente mais volátil,
e tem uma forma de ``S", em temperaturas ligeiramente abaixo da referida temperatura crítica, ambos casos ocorrem dentro de um intervalo 
de composição muito limitado. Estes fatos implicam na existência de mais de uma solução do sistema de equações não 
lineares que descreve o problema de VRD. Neste trabalho, será utilizada uma função objetivo, a qual é uma função de mérito
associada ao sistema não linear que define o problema do cálculo da VRD.
	
Para minimizar a função objetivo, será empregado o algoritmo PSO com fator de constrição proposto por Clerc e
 Kennedy \cite{REF3}, equipado com uma técnica de polarização para problemas multiobjetivo \cite{REF5}. A população inicial para este algoritmo
 estocástico será gerada pela chamada sequência de Sobol \cite{REF4}, a qual é uma sequência de baixa discrepância.
 
Utilizaremos a equação cúbica de estado de Peng-Robinson \cite{REF6,REF7}  para simular a relação \textit{Pressão-Volume-Temperatura} juntamente com a
 regra clássica de misturas de van der Waals.

 Aqui, são estudadas onze (11) misturas binárias de hidrocarbonetos que apresentam o fenômeno de VRD. Tais misturas binárias aparecem em
  processos de produção, transporte e armazenagem de gás e processos de desasfaltação usando solvente supercrítico.
 
 
%Para as citações deve ser usado o comando \cite{código definido na bibliografia}.
%Para citar mais que uma referência \cite{código1,código2}

\section{Desenvolvimento}

\subsection {Formulação do Problema}

O problema de cálculo de pontos de orvalho pode ser descrito pela condição de isofugacidade:
$$\hat{f}^L_i= \hat{f}^V_i ,\quad i=1,\ldots,n_c,$$ 
onde $\hat{f}^L_i$ representa a fugacidade do componentes $i$ da mistura, $n_c$ é o número de componentes e os índices $L$ e $V$
 indicam as fases líquida e vapor, respectivamente. As fugacidades da mistura podem ser escritas como, $\hat{f}^L_i=\Phi^L_iPx_i$ e
 $\hat{f}^L_i=\Phi^V_iPy_i$ (veja \cite{REF8}), onde $\Phi_i^L=\Phi_i\left(T,P,x_i\right)$ e $\Phi_i^V=\Phi_i\left(T,P,y_i\right)$ são os coeficientes 
 de fugacidade do componente $i$, $T$ é a temperatura, $P$ é a pressão, $x_i$ e $y_i$ são as frações molares de cada componente $i$ nas fases líquida e vapor,
 respectivamente.
 
 Para misturas binárias, o problema de cálculo de pontos de orvalho pode ser formulado como o seguinte sistema não linear \cite{REF5}:
 
 \begin{equation}
 \left\{ \begin{array}{c}
\Phi_{1}^{L}x_{1}=\Phi_{1}^{V}y_{1}\\
\Phi_{1}^{L}\left(1-x_{1}\right)=\Phi_{2}^{V}y_{2}
\end{array}\right.
\end{equation}

Outro sistema não linear equivalente pode ser obtido. De fato, aplicando o logaritmo natural em ambas as relações descritas na Eq.(1) 
e igualando  o resultado a zero, obtemos

\begin{equation}
 \left\{ \begin{array}{c}
\ln\left(\Phi_{1}^{L}\right)+\ln\left(x_{1}\right)-\ln\left(\Phi_{1}^{V}\right)-\ln\left(y_{1}\right)=0\\
\ln\left(\Phi_{2}^{L}\right)+\ln\left(1-x_{1}\right)-\ln\left(\Phi_{2}^{V}\right)-\ln\left(y_{2}\right)=0
\end{array}\right.
\end{equation}

Por fim, podemos construir uma função de mérito associada com o sistema não linear indicado na Eq.(2). Seguindo Henderson et. al. \cite{REF5}, a função
de mérito a ser minimizada neste trabalho
 é mostrada na Eq.(3), a qual está sujeita a duas restrições de desigualdades.
 
 \begin{equation}
\begin{array}{c}
f\left(P,x_{1}\right)=\left(\ln\left(\Phi_{1}^{L}\right)+\ln\left(x_{1}\right)-\ln\left(\Phi_{1}^{V}\right)-\ln\left(y_{1}\right)\right)^{2}+\\
\left(\ln\left(\Phi_{2}^{L}\right)+\ln\left(1-x_{1}\right)-\ln\left(\Phi_{2}^{V}\right)-\ln\left(y_{2}\right)\right)^{2}\\
\begin{array}{cc}
\text{Sujeito à:} & \left\{ \begin{array}{c}
0\leq x_{1}\leq1\\
P_{min}\leq P\leq P_{max}
\end{array}\right.\end{array}
\end{array}
 \end{equation}
 
 Observe que encontrar um minimizador global da função descrita na Eq.(3) é equivalente a obter uma solução do sistema não linear mostrado na Eq.(2),
o que justifica a abordagem de otimização adotata aqui.

 A modelagem dos coeficientes de fugacidade será feita na próxima seção.

 \subsection {Modelagem Termodinâmica}
 
Para modelar o logaritmo do coeficiente de fugacidade $\ln \Phi^\beta_i$ do componente $i$ na fase $\beta=L,V$, optamos pela utilização da equação de 
 Peng-Robinson na forma $P-$explícita:
 
 \begin{equation}
  P=\dfrac{RT}{v-b}-\dfrac{a\left(T\right)}{v\left(v+b\right)+b\left(v-b\right)},
 \end{equation}
onde $v$ é o volume molar, $R$ é a constante universal dos gases e $a$ e $b$ são os fatores intermoleculares de atração e repulsão, respectivamente. 
 Esses termos são definidos, para cada componente puro \cite{REF6,REF7}, como:
 $$a\left(T\right)=0,45724\dfrac{R^{2}T_{c}^{2}}{P_{c}}\alpha\left(T_{r}\right)$$
 e
 $$b=0,077880\dfrac{RT_{c}}{P_{c}},$$
 onde $T_c$ é a temperatura crítica e $P_c$ é a pressão crítica, do componente puro. O termo $\alpha$ é uma função da temperatura reduzida, definida 
 como $T_r=\dfrac{T}{T_c}$, e do fator acêntrico do componente, dado por:
 $$\alpha^{\frac{1}{2}}=1+m\left(1-\sqrt{T_{r}}\right),$$
 onde
 $$m=0,37646+1,54226\omega-0,26992\omega^{2}$$
 e $\omega$ é o fator acêntrico referido acima.
 
 Reescrevendo a Eq.(4) como uma função cúbica do fator de compressibilidade, $Z=\frac{Pv}{RT}$, obtemos
 
 \begin{equation}
  Z^{3}-\left(1-B\right)Z^{2}+\left(A-2B-3B^{2}\right)Z-\left(AB-B^{2}-B^{3}\right)=0
 \end{equation}
 onde
 $$A=\dfrac{aP}{R^{2}T^{2}}$$
 e
 $$B=\dfrac{bP}{RT}.$$
 
 Para misturas, os termos $a$ e $b$ são descritos por regras de misturas apropriadas.Neste trabalho foram utilizadas as regras de misturas clássicas
 \cite{REF6,REF7}, dadas por:
 $$a=\sum_{i}\sum_{j}x_i x_j \left(1-K_{i,j}\right)a_{i}^{\frac{1}{2}}a_{j}^{\frac{1}{2}}$$
 e
 $$b=\sum_{i}x_{i}b_{i},$$
 onde $K_{i,j}$ é o coeficiente de interação binária, determinado por ajuste de dados característicos da mistura formada pelos componentes $i$ e $j$. 

 O logaritmo do coeficiente de fugacidade, na sua forma integral, pode ser escrito na forma \cite{REF6,REF7}:
 $$\ln\phi_{i}=\int_{v}^{\infty}\left[\dfrac{1}{RT}\left(\dfrac{\partial P}{\partial n_{i}}\right)_{T,v,n_{j}}-\dfrac{1}{v}\right]dv-\ln\left(\dfrac{Pv}{RT}\right).$$

Aplicando a equação de estado de Peng-Robinson e a regra de mistura definida anteriormente, o logaritmo do coeficiente de fugacidade, pode ser
calculado como:
$$\ln\phi_{i}=\dfrac{b_{i}}{b}\left(Z-1\right)-\ln\left(Z-B\right)-\dfrac{A}{2\sqrt{2}B}\left(\dfrac{2\sum_{j}x_{j}a_{j,i}}{a}-\dfrac{b_{i}}{b}\right)\ln\left(\dfrac{Z+2,414B}{Z-0,414B}\right).$$

Na próxima seção, descreveremos a abordagem numérica selecionada para minimização da função descrita na Eq.(3).

\subsection {Método Numérico e Técnica de Polarização}

\subsubsection {Particle Swarm Optimization com Fator de Constrição - PSOFC}

O Particle Swarm Optimization (PSO) \cite{REF10,REF11} é baseado no paradigma da colaboração e na metáfora do aprendizado social, aplicado a
 problemas de otimização global. Inicialmente inspirado na dinâmica de cardumes de peixes e bandos de aves, o PSO equilibra o aprendizado e a experiência
 de uma partícula e sua habilidade em aproveitar as experiências do enxame em um contexto social, onde cada indivíduo aprende a partir de sua própria
 experiência, e da experiência do grupo, realizando explotação e exploração. Esta metaheurística é um algoritmo populacional, onde
 a população é chamada de enxame e cada indivíduo é chamado de partícula.
 
 Aqui, o algoritmo PSO é dirigido para problemas de otimização global, com a seguinte forma, resumindo o problema apresentado na Eq.(3):
 
 \begin{equation}
 \left\{ \begin{array}{cc}
\min f= & f(x_{1},...,x_{n})\\
\text{sujeito a} & \text{min}_{i}<x_{i}<\text{max}_{i},\text{ onde }i=1,...,n.
\end{array}\right.
\end{equation}
onde $\text{min}_i$ e $\text{max}_i$ são as fronteiras de cada variável $x_i$.

O PSOFC utiliza um enxame de $n_p$ partículas, onde $p$ é chamado de tamanho da população. Em um dado instante de tempo $t$, cada partícula é 
associada a uma posição no $\mathbb{R}^n$, denotado por $x^i\left(t\right)$ para todo $i=1,...,n_p$. No contexto numérico, o PSOFC é um método
 iterativo, onde $t$ é a iteração atual. Assim, a nova posição da $i-$\textit{ésima} $\left(i=1,...,n_p\right)$ partícula na iteração $t+1$ é dado por
$$x_{j}^{i}\left(t+1\right)=x_{j}^{i}\left(t\right)+v_{j}^{i}\left(t+1\right);j=1,...,n,$$
onde $v^i\left(t+1\right)$ é um vetor $\mathbb{R}^n$ que representa a velocidade da partícula $x^i$ no tempo $t+1$.

O PSOFC, foi proposto por Clerc e Kennedy \cite{REF3} para controlar possíveis divergências (``explosão'') do enxame e não utiliza o chamado peso de inércia
 considerado na sua formulação original.
 Por isso, Clerc e Kennedy \cite{REF3} introduziram o fator de constrição $\left(\mathbb{X}\right)$, de modo que a velocidade do PSOFC é atualizado
 pela seguinte equação:
 $$v_{j}^{i}\left(t+1\right)=\mathbb{X}\left[v_{j}^{i}\left(t\right)+\phi_{1}r_{1,j}\left(y_{j}^{i}\left(t\right)-x_{j}^{i}\left(t\right)\right)+\phi_{2}r_{2,j}\left(xbest_{j}\left(t\right)-x_{j}^{i}\left(t\right)\right)\right];j=1,...,n.$$
para todo $i=1,...,n_p$ e $j=1,...,n$, onde $\mathbb{X}$ é dado por

$$\mathbb{X}=\dfrac{2}{\left|2-\phi-\sqrt{\phi^{2}-4\phi}\right|},$$
com
$$\phi\equiv\phi_{1}+\phi_{2}>4.0$$
e onde $r_{1,j}$, $r_{2,j}$ são números randômicos, uniformemente distribuídos no intervalo $\left[0,1\right]$. O parâmetro $y^i_j\left(t\right)$ é
 o $j-$\textit{ésimo} componente do vetor $y^i\left(t\right)$, a melhor posição encontrada anteriormente pela $i-$\textit{ésima} partícula na 
 região factível e $xbest_j\left(t\right)$ é o $j-$\textit{ésimo} componente do vetor $xbest\left(t\right)$, a melhor posição anterior entre 
 todas as partículas do enxame.
 
 Normalmente, $\phi$ é definido como 4.1 e o fator de constrição $\mathbb{X}$ é considerado como 0.729. Aqui, considerou-se $\phi_1=\phi_2=2.05$.

 O PSOFC é um método estocástico para otimização global sem restrições. A fim de adaptar este método para o problema com restrição mostrado na Eq.(6), neste
trabalho, modificou-se o PSOFC, fazendo-se, de uma forma adequada, com que a sequência gerada pelo método PSOFC permaneça dentro do conjunto viável, veja
\cite{REF12}.

Os passos do PSOFC com a modificação acima mencionada (aqui chamado PSOCF/M) são mostrados abaixo no Algoritmo 1. A população inicial considerada 
no Passo 1 é gerada pela sequência de Sobol \cite{REF4}.

\newpage

\begin{algorithm}[H]
\caption{PSOFC/M}
\Entrada{
Gere $n_{p}$  partículas $x^{i}\left(0\right)=\left(x_{1}^{i}\left(0\right),...,x_{4}^{i}\left(0\right)\right)$  uniformemente distribuídas
nos intervalos, tal que $x_{j}^{i}\left(0\right)=a_{j}+\zeta_{ij}\left(b_{j}-a_{j}\right)$, para todo $j=1,2,3$, e $x_{4}^{i}\left(0\right)$
$=a_{4}+\zeta_{i4}\left(\beta^{i}-a_{4}\right)$, onde todos os parâmetros $\zeta_{ij}$ são números uniformente distribuídos no intervalo
$\left(0,1\right)$, e $\beta^{i}=b_{4}-x_{3}^{i}$.

Gere $n_{p}$ velocidades $v^{i}\left(0\right)=\left(v_{1}^{i}\left(0\right),...,v_{4}^{i}\left(0\right)\right)$, onde 
$v_{j}^{i}\left(0\right)=\vartheta_{i,j}\left(b_{j}-a_{j}\right)$, no intervalo $\left[-1,1\right]$.

Faça $t=0$ e $y^{i}\left(t\right)=x^{i}\left(0\right)$, para todo $i=1,...,n_{p}$.

Faça $xbest\left(t\right)=\text{argmin}_{y\in Y}f\left(y\right)$, onde $Y=\left\{ y^{1}\left(t\right),...,y^{n_{p}}\left(t\right)\right\}$.
}

\Inicio{

Faça $xbest\left(t+1\right)=xbest\left(t\right)$.

\ParaTodo{$i=1,...,n_{p}$ }{
\Se{$f\left(x^{i}\left(t\right)\right)<f\left(y^{i}\left(t\right)\right)$}{
faça $y^{i}\left(t+1\right)=x^{i}\left(t\right)$, 
}
\eSe{$y^{i}\left(t+1\right)<f\left(xbest\left(t+1\right)\right)$}{
faça $xbest\left(t+1\right)=y^{i}\left(t+1\right)$,
}
{
faça $y^{i}\left(t+1\right)=y^{i}\left(t\right)$,
}
}
\Se{$t\leq t_{max}$}{
faça $x_{opt}=xbest\left(t+1\right)$ e pare.
}

\ParaTodo{$j=1,...,n$}{
computção dos números aleatórios $r_{1,j}$ e $r_{2,j}$ distribuídos uniformemente no intervalo $\left[0,1\right]$ e, para todo $i=1,...,n_{p}$,
calcule $v^{i}\left(t+1\right)$ usando a equação
$$v_{j}^{i}\left(t+1\right)=0.729\left[v_{j}^{i}\left(t\right)+2.05r_{i,j}\left(y_{j}^{i}\left(t+1\right)-x_{j}^{i}\left(t\right)\right)\right]+$$
$$0.729\left[2.05r_{2,j}\left(xbest_{j}\left(t+1\right)-x_{j}^{i}\left(t\right)\right)\right].$$
}
\ParaTodo{$i=1,...,n_{p}$ e $j=1,...,n$}{
$$x_{j}^{i}\left(t+1\right)=x_{j}^{i}\left(t\right)+v_{j}^{i}\left(t+1\right),$$

\Se{$x_{j}^{i}\left(t+1\right)\geq b_{j}$}{
compute os números aleatórios $\lambda_{ij}$ e faça $v_{j}^{i}\left(t+1\right)=b_{j}-x_{j}^{i}\left(t\right)$ e
$x_{j}^{i}\left(t+1\right)=x_{j}^{i}\left(t\right)+\lambda_{ij}v_{j}^{i}\left(t+1\right)$,
}
\Se{$x_{j}^{i}\left(t+1\right)\leq a_{j}$}{
compute os números aleatórios $\lambda_{ij}$ e faça $v_{j}^{i}\left(t+1\right)=a_{j}-x_{j}^{i}\left(t\right)$
 e $x_{j}^{i}\left(t+1\right)=x_{j}^{i}\left(t\right)+\lambda_{ij}v_{j}^{i}\left(t+1\right)$.
}
}
Faça $t=t+1$
}
%\Saida{como escrever algoritmos com \LaTeX2e }
\end{algorithm}


\subsubsection {Técnica de Polarização}

Com a finalidade de encontrar todos os mínimos da função objetivo apresentada na Eq.(3) utilizamos a Técnica de Polarização \cite{REF5}.

A abordagem considerada parte do seguinte princípio. Suponha que o primeiro minimizador global da Eq.(3), denotado $y^{\left(1\right)}$,
já foi determinado pelo PSOFC/M. Neste caso tem-se $f\left(y^{\left(1\right)}\right)=0$.

Em seguida, para determinar um segundo minimizador global $y^{\left(2\right)}$, emprega-se novamente o PSOFC/M na resolução do subproblema:

\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Minimizar }f_{1}\left(y\right)=\dfrac{f\left(y\right)+\alpha}{\arctan\left\Vert y-y^{\left(1\right)}\right\Vert }\\
y\in\mathbb{R}^{r}
\end{array}\right.
\end{equation}
onde $\alpha=10^{-10}$ como sugerido por \cite{REF5}.

De maneira análoga, tendo-se obtida $y^{\left( 2\right)}$ , se o problema mostrado na Eq.(3) apresenta um outro minimizador global $y^{\left(3\right)}$, então se procura
$y^{\left(3\right)}$ através da resolução do seguinte problema de otimização global:

\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Minimizar }f_{2}\left(y\right)=\dfrac{f_1\left(y\right)}{\arctan\left\Vert y-y^{\left(2\right)}\right\Vert }\\
y\in\mathbb{R}^{r}
\end{array}\right.
\end{equation}

Mais geralmente, tendo-se resolvido o problema indicado na Eq.(7) e supondo-se que $n>1$ soluções já foram determinadas, procura-se a $\left(n+1\right)-$\textit{ésima} solução
resolvendo o problema de minimização global:

\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Minimizar }f_{n}\left(y\right)=\dfrac{f_{n-1}\left(y\right)}{\arctan\left\Vert y-y^{\left(n\right)}\right\Vert }\\
y\in\mathbb{R}^{r}
\end{array}\right.
\end{equation}

A função obtida na $n-$\textit{ésima} etapa deste processo (denominado de polarização) é a função multipolarizada, cujos os polos são as soluções anteriores
$y^{\left(1\right)},...,y^{\left(n\right)}$.

Assim, após $n$ etapas, a função multipolarizada tem a forma:

$$f_{n}\left(y\right)=\dfrac{f\left(y\right)+\alpha}{\arctan\left\Vert y-y^{\left(1\right)}\right\Vert \times\cdots\times\arctan\left\Vert y-y^{\left(n\right)}\right\Vert }.$$

\section{Resultados e discussão}

Neste trabalho todas as propriedades críticas foram obtidos a partir de \cite{REF13} e os coeficientes de interação binária utilizados nas simulações são nulos.

\subsection {Mistura 1 (metano+$n$-butano)}

Esta mistura foi estudada inicialmente por \cite{REF1} e posteriormente por \cite{REF5,REF14}. A temperatura utilizada foi $T=189.06 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 1.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 1.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip metano  \smallskip \end{minipage} & 190.56 & 4600 & 0.0109 \\
\small{$n$-butano } & 425.36 & 3800 & 0.1994  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho calculada aqui pode ser vista na Figura 1.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura1.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho da mistura 1}%legenda da figura
\label{figura1} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho encontrados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 1 são apresentados na Tabela 2. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab2} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{metano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.99903  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.28204, 1260.8\right)$ & $\left(0.91665, 3983.0\right)$ & $\left(0.92961, 4017.9\right)$ \\
\small{0.99904} & $\left(0.28699, 1280.2\right)$ & $\left(0.90314, 3940.6\right)$ & $\left(0.95001, 4079.9\right)$ \\
\small{0.99905} & $\left(0.29204, 1303.6\right)$ & $\left(0.88815, 3896.2\right)$ & $\left(0.95826, 4109.1\right)$ \\
\small{0.99906} & $\left(0.29811, 1330.1\right)$ & $\left(0.86416, 3832.1\right)$ & $\left(0.96276, 4125.6\right)$ \\
\small{0.99907} & $\left(0.30345, 1355.2\right)$ & $\left(0.85417, 3799.0\right)$ & $\left(0.96678, 4142.6\right)$ \\
\small{0.99908} & $\left(0.30725, 1377.3\right)$ & $\left(0.84711, 3772.2\right)$ & $\left(0.96961, 4154.7\right)$ \\
\small{0.99909} & $\left(0.31395, 1403.1\right)$ & $\left(0.82927, 3719.2\right)$ & $\left(0.97172, 4163.4\right)$ \\
\small{0.99910} & $\left(0.32109, 1440.9\right)$ & $\left(0.81576, 3675.7\right)$ & $\left(0.97397, 4174.8\right)$ \\
\small{0.99911} & $\left(0.32614, 1463.7\right)$ & $\left(0.81181, 3654.0\right)$ & $\left(0.97565, 4183.0\right)$ \\
\small{0.99912} & $\left(0.33309, 1495.0\right)$ & $\left(0.80141, 3614.5\right)$ & $\left(0.97717, 4190.8\right)$ \\
\small{0.99913} & $\left(0.34080, 1531.0\right)$ & $\left(0.78993, 3572.9\right)$ & $\left(0.97830, 4195.8\right)$ \\
\small{0.99914} & $\left(0.34905, 1571.6\right)$ & $\left(0.78219, 3537.6\right)$ & $\left(0.97979, 4205.5\right)$ \\
\small{0.99915} & $\left(0.35797, 1613.5\right)$ & $\left(0.76282, 3473.5\right)$ & $\left(0.98085, 4211.3\right)$ \\
\small{0.99916} & $\left(0.36688, 1653.3\right)$ & $\left(0.74398, 3405.1\right)$ & $\left(0.98193, 4218.4\right)$ \\
\small{0.99917} & $\left(0.37791, 1708.6\right)$ & $\left(0.73904, 3373.1\right)$ & $\left(0.98249, 4219.3\right)$ \\
\small{0.99918} & $\left(0.38721, 1755.5\right)$ & $\left(0.72167, 3306.6\right)$ & $\left(0.98367, 4229.2\right)$ \\
\small{0.99919} & $\left(0.39945, 1813.4\right)$ & $\left(0.71010, 3250.8\right)$ & $\left(0.98439, 4233.5\right)$ \\
\small{0.99920} & $\left(0.41262, 1875.9\right)$ & $\left(0.68173, 3141.4\right)$ & $\left(0.98525, 4240.6\right)$ \\
\small{0.99921} & $\left(0.42824, 1947.7\right)$ & $\left(0.67014, 3082.0\right)$ & $\left(0.98584, 4243.9\right)$ \\
\small{0.99922} & $\left(0.45032, 2057.6\right)$ & $\left(0.64434, 2970.1\right)$ & $\left(0.98648, 4248.7\right)$ \\
\small{0.99923} & $\left(0.46942, 2147.9\right)$ & $\left(0.61446, 2836.1\right)$ & $\left(0.98708, 4253.1\right)$ \\
\small{0.99924} & $\left(0.52822, 2434.2\right)$ & $\left(0.56983, 2624.6\right)$ & $\left(0.98768, 4258.3\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

\subsection {Mistura 2 (metano+$n$-pentano)}

Esta mistura foi estudada inicialmente por \cite{REF2} e posteriormente por \cite{REF14}. A temperatura utilizada foi $T=191.08 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 3.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 2.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip metano  \smallskip \end{minipage} & 190.56 & 4600 & 0.0109 \\
\small{$n$-pentano } & 469.7 & 3770 & 0.252  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho determinada pela metodologia usada aqui pode ser vista na Figura 2.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura2.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho da mistura 2}%legenda da figura
\label{figura2} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho calculados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 2 são apresentados na Tabela 4. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Alguns pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab2} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{metano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.99939  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.9833, 4524.48\right)$ & $\left(0.9855, 4531.48\right)$ & $\left(0.9862, 4534.05\right)$ \\
\small{0.99943} & $\left(0.9133 , 4477.71\right)$ & $\left(0.9559 , 4478.76\right)$ & $\left(0.9653 , 4481.31\right)$ \\
\small{0.99944} & $\left(0.8880 , 4469.99\right)$ & $\left(0.8971 , 4471.15\right)$ & $\left(0.9952 , 4585.15\right)$ \\
\small{0.99946} & $\left(0.8743 , 4455.47\right)$ & $\left(0.8817 , 4457,06\right)$ & $\left(0.9960 , 4591.06\right)$ \\
\small{0.99950} & $\left(0.8454 , 4420.27\right)$ & $\left(0.8536 , 4422.77\right)$ & $\left(0.9972 , 4603.97\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

\subsection {Mistura 3 (etano+$n$-octano)}

Esta mistura foi estudada  por \cite{REF14}. A temperatura utilizada foi $T=309.0 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 5.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 3.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip etano  \smallskip \end{minipage} & 305.32 & 4872 & 0.217 \\
\small{$n$-octano } & 568.7 & 2490 & 0.399  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho determinada pela metodologia usada aqui pode ser vista na Figura 3.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura3.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho da mistura 3} %legenda da figura
\label{figura3} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho calculados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 3 são apresentados na Tabela 6. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Alguns pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab4} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{etano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.997305  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.5334 , 2256.07\right)$ & $\left(0.9605 , 4797.23\right)$ & $\left(0.9687 , 4859.10\right)$ \\
\small{0.99731} & $\left(0.5365 , 2274.07\right)$ & $\left(0.9553 , 4759.26\right)$ & $\left(0.9710 , 4877.01\right)$ \\
\small{0.99733} & $\left(0.5471 , 2329.14\right)$ & $\left(0.9422 , 4666.23\right)$ & $\left(0.9854 , 5003.91\right)$ \\
\small{0.99734} & $\left(0.5493 , 2335.43\right)$ & $\left(0.9394 , 4645.18\right)$ & $\left(0.9890 , 5041.27\right)$ \\
\small{0.99735} & $\left(0.5516 , 2348.96\right)$ & $\left(0.9333 , 4603.28\right)$ & $\left(0.9897 , 5047.95\right)$ \\
\small{0.99737} & $\left(0.5643 , 2422.42\right)$ & $\left(0.9180 , 4502.28\right)$ & $\left(0.9917 , 5068.29\right)$ \\
\small{0.99738} & $\left(0.5656 , 2419.53\right)$ & $\left(0.9168 , 4491.78\right)$ & $\left(0.9928 , 5079.70\right)$ \\
\small{0.99740} & $\left(0.5756 , 2468.96\right)$ & $\left(0.9016 , 4393.53\right)$ & $\left(0.9109 , 4449.31\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

\subsection {Mistura 4 (propano+dodecano)}

Esta mistura foi estudada  por \cite{REF14}. A temperatura utilizada foi $T=373.0 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 7.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 4.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip propano  \smallskip \end{minipage} & 369.83 & 4248 & 0.152 \\
\small{dodecano } & 658.0 & 1820 & 0.576  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho determinada pela metodologia usada aqui pode ser vista na Figura 4.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura4.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho da mistura 4}%legenda da figura
\label{figura4} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho calculados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 4 são apresentados na Tabela 8. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Alguns pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab4} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{propano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.99796  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.5662 , 2005.14\right)$ & $\left(0.9241 , 3844.12\right)$ & $\left(0.9623 , 4087.22\right)$ \\
\small{0.99797} & $\left(0.5728 , 2032.41\right)$ & $\left(0.9163 , 3794.97\right)$ & $\left(0.9686 , 4132.07\right)$ \\
\small{0.99798} & $\left(0.5814 , 2072.09\right)$ & $\left(0.9051 , 3728.08\right)$ & $\left(0.9720 , 4156.61\right)$ \\
\small{0.99799} & $\left(0.5882 , 2102.69\right)$ & $\left(0.8950 , 3668.44\right)$ & $\left(0.9750 , 4179.52\right)$ \\
\small{0.99800} & $\left(0.5969 , 2141.05\right)$ & $\left(0.8911 , 3642.75\right)$ & $\left(0.9778 , 4202.08\right)$ \\
\small{0.99801} & $\left(0.6053 , 2177.18\right)$ & $\left(0.8786 , 3570.94\right)$ & $\left(0.9799 , 4218.54\right)$ \\
\small{0.99802} & $\left(0.6158 , 2225.91\right)$ & $\left(0.8678 , 3508.79\right)$ & $\left(0.9810 , 4227.83\right)$ \\
\small{0.99803} & $\left(0.6263 , 2273.38\right)$ & $\left(0.8536 , 3429.71\right)$ & $\left(0.9823 , 4238.02\right)$ \\
\small{0.99804} & $\left(0.6367 , 2319.74\right)$ & $\left(0.8423 , 3365.43\right)$ & $\left(0.9836 , 4249.31\right)$ \\
\small{0.99805} & $\left(0.6543 , 2404.01\right)$ & $\left(0.8280 , 3286.37\right)$ & $\left(0.9848 , 4259.93\right)$ \\
\small{0.99806} & $\left(0.6642 , 2448.00\right)$ & $\left(0.8115 , 3196.27\right)$ & $\left(0.9856 , 4266.89\right)$ \\
\small{0.99807} & $\left(0.6956 , 2601.58\right)$ & $\left(0.7894 , 3077.37\right)$ & $\left(0.9874 , 4285.13\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

\subsection {Mistura 5 ($n$-butano+hexadecano)}

Esta mistura foi estudada  por \cite{REF14}. A temperatura utilizada foi $T=428.6 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 9.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 5.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip $n$-butano  \smallskip \end{minipage} & 425.12 & 3796 & 0.200 \\
\small{hexadecano } & 723.00 & 1400 & 0.718  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho determinada pela metodologia usada aqui pode ser vista na Figura 5.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura5.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho} da mistura 5%legenda da figura
\label{figura5} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho calculados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 5 são apresentados na Tabela 10. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Alguns pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab4} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{$n$-butano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.99784  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.6191 , 1938.84\right)$ & $\left(0.9206 , 3372.64\right)$ & $\left(0.9469 , 3531.54\right)$ \\
\small{0.99785} & $\left(0.6309 , 1986.95\right)$ & $\left(0.8999 , 3254.46\right)$ & $\left(0.9539 , 3575.22\right)$ \\
\small{0.99786} & $\left(0.6415 , 2029.29\right)$ & $\left(0.8858 , 3175.99\right)$ & $\left(0.9605 , 3618.10\right)$ \\
\small{0.99787} & $\left(0.6496 , 2061.57\right)$ & $\left(0.8748 , 3115.30\right)$ & $\left(0.9650 , 3648.48\right)$ \\
\small{0.99788} & $\left(0.6679 , 2138.93\right)$ & $\left(0.8551 , 3011.48\right)$ & $\left(0.9691 , 3677.73\right)$ \\
\small{0.99789} & $\left(0.6807 , 2191.72\right)$ & $\left(0.8412 , 2938.74\right)$ & $\left(0.9711 , 3691.10\right)$ \\
\small{0.99790} & $\left(0.7036 , 2290.61\right)$ & $\left(0.8222 , 2841.75\right)$ & $\left(0.9727 , 3702.29\right)$ \\
\small{0.99791} & $\left(0.7314 , 2412.54\right)$ & $\left(0.7825 , 2649.12\right)$ & $\left(0.9758 , 3726.17\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

\subsection {Mistura 6 ($n$-pentano+icosano)}

Esta mistura foi estudada  por \cite{REF14}. A temperatur utilizada foi $T=473.6 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 11.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 6.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip $n$-pentano  \smallskip \end{minipage} & 469.7 & 3370 & 0.252 \\
\small{icosano } & 768.0 & 1070 & 0.865  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho determinada pela metodologia usada aqui pode ser vista na Figura 6.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura6.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho da mistura 6}%legenda da figura
\label{figura6} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho calculados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 6 são apresentados na Tabela 12. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Alguns pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab4} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{$n$-pentano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.99761  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.6411 , 1756.38\right)$ & $\left(0.8995 , 2852.26\right)$ & $\left(0.9113 , 2913.52\right)$ \\
\small{0.99762} & $\left(0.6525 , 1796.82\right)$ & $\left(0.8740 , 2723.50\right)$ & $\left(0.9442 , 3098.47\right)$ \\
\small{0.99763} & $\left(0.6628 , 1833.45\right)$ & $\left(0.8586 , 2648.23\right)$ & $\left(0.9538 , 3157.31\right)$ \\
\small{0.99764} & $\left(0.6767 , 1884.53\right)$ & $\left(0.8378 , 2550.41\right)$ & $\left(0.9560 , 3170.06\right)$ \\
\small{0.99765} & $\left(0.6971 , 1961.38\right)$ & $\left(0.8158 , 2450.21\right)$ & $\left(0.9608 , 3200.95\right)$ \\
\small{0.99766} & $\left(0.7244 , 2066.74\right)$ & $\left(0.7933 , 2350.41\right)$ & $\left(0.9639 , 3220.95\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

\subsection {Mistura 7 (prpano+naftaleno)}

Esta mistura foi estudada  por \cite{REF14}. A temperatura utilizada foi $T=373.5 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 13.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 7.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip propano  \smallskip \end{minipage} & 369.83 & 4248 & 0.152 \\
\small{naftaleno } & 748.40 & 4050 & 0.304  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho determinada pela metodologia usada aqui pode ser vista na Figura 7.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura7.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho da mistura 7}%legenda da figura
\label{figura7} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho calculados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 7 são apresentados na Tabela 14. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Alguns pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab4} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{propano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.99701  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.2302 , 1202.59\right)$ & $\left(0.9506 , 4147.37\right)$ & $\left(0.9525 , 4153.89\right)$ \\
\small{0.99702} & $\left(0.2312 , 1208.53\right)$ & $\left(0.9374 , 4105.70\right)$ & $\left(0.9627 , 4192.43\right)$ \\
\small{0.99705} & $\left(0.2353 , 1229.19\right)$ & $\left(0.9221 , 4062.07\right)$ & $\left(0.9729 , 4239.58\right)$ \\
\small{0.99710} & $\left(0.2414 , 1262.13\right)$ & $\left(0.9016 , 4007.90\right)$ & $\left(0.9795 , 4276.60\right)$ \\
\small{0.99715} & $\left(0.2484 , 1298.81\right)$ & $\left(0.8845 , 3963.19\right)$ & $\left(0.9838 , 4305.02\right)$ \\
\small{0.99720} & $\left(0.2553 , 1335.48\right)$ & $\left(0.8608 , 3908.15\right)$ & $\left(0.9861 , 4321.13\right)$ \\
\small{0.99725} & $\left(0.2634 , 1375.95\right)$ & $\left(0.8424 , 3860.76\right)$ & $\left(0.9891 , 4346.92\right)$ \\
\small{0.99730} & $\left(0.2719 , 1420.88\right)$ & $\left(0.8206 , 3806.47\right)$ & $\left(0.9916 , 4370.18\right)$ \\
\small{0.99735} & $\left(0.2810 , 1468.11\right)$ & $\left(0.8028 , 3755.62\right)$ & $\left(0.9940 , 4394.56\right)$ \\
\small{0.99740} & $\left(0.2909 , 1521.10\right)$ & $\left(0.7818 , 3696.60\right)$ & $\left(0.9955 , 4407.06\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

\subsection {Mistura 8 (propano+1-metil-naftaleno)}

Esta mistura foi estudada  por \cite{REF14}. A temperatura utilizada foi $T=373.0 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 15.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 8.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip propano  \smallskip \end{minipage} & 369.83 & 4248 & 0.152 \\
\small{1-metil-naftaleno } & 772.0 & 3600 & 0.348  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho determinada pela metodologia usada aqui pode ser vista na Figura 8.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura8.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho da mistura 8}%legenda da figura
\label{figura8} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho calculados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 8 são apresentados na Tabela 16. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Alguns pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab4} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{propano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.99817  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.1378 , 670.61\right)$ & $\left(0.9570 , 4181.39\right)$ & $\left(0.9887 , 4319.39\right)$ \\
\small{0.998175} & $\left(0.1380 , 672.30\right)$ & $\left(0.9548 , 4175.25\right)$ & $\left(0.9898 , 4328.11\right)$ \\
\small{0.998177} & $\left(0.1383 , 673.39\right)$ & $\left(0.9567 , 4179.11\right)$ & $\left(0.9897 , 4327.11\right)$ \\
\small{0.998204} & $\left(0.1410 , 686.81\right)$ & $\left(0.9445 , 4147.87\right)$ & $\left(0.9927 , 4352.58\right)$ \\
\small{0.998208} & $\left(0.1412 , 688.45\right)$ & $\left(0.9479 , 4153.97\right)$ & $\left(0.9929 , 4354.87\right)$ \\
\small{0.99821} & $\left(0.1415 , 689.79\right)$ & $\left(0.9486 , 4153.40\right)$ & $\left(0.9929 , 4354.05\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

\subsection {Mistura 9 (propano+bifenilo)}

Esta mistura foi estudada  por \cite{REF14}. A temperatura utilizada foi $T=372.8 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 17.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 9.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip propano  \smallskip \end{minipage} & 369.83 & 4248 & 0.152 \\
\small{bifenilo } & 773.0 & 3380 & 0.404  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho determinada pela metodologia usada aqui pode ser vista na Figura 9.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura9.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho da mistura 9}%legenda da figura
\label{figura9} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho encontrados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 9 são apresentados na Tabela 18. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Alguns pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab4} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{propano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.998495  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.0990 , 469.60\right)$ & $\left(0.9783 , 4259.52\right)$ & $\left(0.9805 , 4268.04\right)$ \\
\small{0.998500} & $\left(0.0995 , 471.67\right)$ & $\left(0.9778 , 4256.52\right)$ & $\left(0.9885 , 4311.13\right)$ \\
\small{0.998502} & $\left(0.0997 , 472.48\right)$ & $\left(0.9777 , 4255.55\right)$ & $\left(0.9896 , 4318.42\right)$ \\
\small{0.998515} & $\left(0.1006 , 476.90\right)$ & $\left(0.9715 , 4233.09\right)$ & $\left(0.9959 , 4344.60\right)$ \\
\small{0.998533} & $\left(0.1020 , 484.00\right)$ & $\left(0.9684 , 4220.83\right)$ & $\left(0.9950 , 4370.43\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}


\subsection {Mistura 10 (propano+difenil-metano)}

Esta mistura foi estudada  por \cite{REF14}. A temperatura utilizada foi $T=372.2 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 19.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 10.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip propano  \smallskip \end{minipage} & 369.83 & 4248 & 0.152 \\
\small{difenil-metano } & 760.0 & 2710 & 0.481  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho determinada pela metodologia usada aqui pode ser vista na Figura 10.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura10.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho da mistura 10}%legenda da figura
\label{figura10} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho calculados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 10 são apresentados na Tabela 20. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Alguns pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab4} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{propano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.99895  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.1058 , 417.18\right)$ & $\left(0.9783 , 4225.39\right)$ & $\left(0.9924 , 4303.31\right)$ \\
\small{0.998955} & $\left(0.1063 , 419.45\right)$ & $\left(0.9774 , 4220.93\right)$ & $\left(0.9931 , 4308.95\right)$ \\
\small{0.99897} & $\left(0.1080 , 426.13\right)$ & $\left(0.9711 , 4197.75\right)$ & $\left(0.9949 , 4325.14\right)$ \\
\small{0.998975} & $\left(0.1087 , 428.86\right)$ & $\left(0.9693 , 4191.48\right)$ & $\left(0.9960 , 4338.61\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

\subsection {Mistura 11 (etano+limoneno)}

Esta mistura foi estudada  por \cite{REF15}. A temperatura utilizada foi $T=307.4 \text{ K}$ e os outros 
dados são apresentados na Tabela 21.

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Propriedade físicas da mistura 11.} \label{tab1} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\textbf{Componentes} & \textbf{$T_c$ (K)} & \textbf{$P_c$ (kPa)}  & \textbf{$\omega$}\\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip etano  \smallskip \end{minipage} & 305.3 & 4872 & 0.100 \\
\small{limoneno } & 660.0 & 2750 & 0.313  \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

A curva dos pontos de orvalho determinada pela metodologia usada aqui pode ser vista na Figura 11.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm]{figura11.eps}
\caption{Curva de ponto orvalho da mistura 11}%legenda da figura
\label{figura11} 
\end{figure}

Alguns dos pontos de orvalho calculados neste trabalho e que pertencem a curva apresentada na Figura 11 são apresentados na Tabela 22. 

\begin{table}[H] %o parametro !ht força a posição da legenda em cima da tabela.
\centering{ \caption{\it Alguns pontos de orvalho do problema de VRD} \label{tab4} %A enumeração deve ser feita manulamente aqui.
\smallskip
\begin{tabular}{c c c c}%Defina aqui a quantidade de colunas (no caso 4). 
\hline
\multirow{2}{*}{\textbf{etano (\%)}} & \multicolumn{3}{c}{\textbf{Soluções} $\left(x_1,P\left(\text{kPa}\right)\right)$}  \\ \cline{2-4}
                              & \small{1} & \small{2} & \small{3} \\  \hline
\begin{minipage}{2.5 cm} \center \small \smallskip 0.998952  \smallskip \end{minipage} & $\left(0.1540 , 608.36\right)$ & $\left(0.9880 , 4899.24\right)$ & $\left(0.9897 , 4913.67\right)$ \\
\small{0.99896} & $\left(0.1556 , 614.90\right)$ & $\left(0.9812 , 4850.70\right)$ & $\left(0.9904 , 4918.42\right)$ \\
\small{0.99897} & $\left(0.1572 , 621.94\right)$ & $\left(0.9785 , 4832.59\right)$ & $\left(0.9929 , 4942.10\right)$ \\
\small{0.99898} & $\left(0.1594 , 630.08\right)$ & $\left(0.9768 , 4820.48\right)$ & $\left(0.9932 , 4944.27\right)$ \\
\small{0.998985} & $\left(0.1603 , 634.10\right)$ & $\left(0.9720 , 4795.38\right)$ & $\left(0.9970 , 4993.06\right)$ \\
\hline
\end{tabular}}

\end{table}

%No caso de figuras, preferencialmente deverão estar no formato *.eps para que não percam a qualidade
%de resolução. Gráficos gerados no MATLAB {\textregistered} ou no Winplot, podem ser exportadas no
%formato EPS. Neste caso, a melhor opção é: File, Export, Arquivos do tipo: EPS Level
%2 (*.eps) – que irá salvar a figura com uma melhor resolução. Todas as figuras devem ser submetidas em separado.

%\begin{figure}[H]
%\centering
%\includegraphics[height=6cm]{fig1.eps}
%\caption{Campo de direções de $\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{x}$}%legenda da figura
%\label{fig1} 
%\end{figure}


\section{Conclusões}

Neste trabalho foram estudadas onze (11) misturas binárias que apresetaram o fenômeno de VRD,
as quais foram modeladas termodinamicamente pela equação cúbica de estado de Peng-Robinson junto com a regra clássica de misturas de van der Waals.
A formulação para o cálculo dos pontos de orvalho foi feita via otimização global e o algorithm de minimização utilizado foi o PSOFC. Os resultados
gerados mostram que a metodologia proposta (PSOFC+Polarização) é uma ferramenta robusta, capaz de encontrar múltiplas soluções do problema do cálculo de pontos de
orvalho, na presença do fenômeno de vaporização retrograda dupla.

%Esperamos que este arquivo possa ser útil na elaboração de seu artigo, qualquer dúvida
%envie um e-mail (recen.unicentro@gmail.com) para mais esclarecimentos. Antes da publicação, após
%as correções, o artigo será enviado aos autores para confirmação da formatação final. Deve
%ser conferido e devolvido imediatamente.

\begin{thebibliography}{999}
%A bibliografia deve ser feita utilizando \bibitem {x} AUTOR1; AUTOR2; Título, volume, número , data
%Onde x é um código que deve-se criar para cada referencia
%As citações devem ser inseridas aqui na ordem em que aparecem no texto 

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