\documentclass[A4paper, 10pt, twoside]{article} \usepackage{amssymb,latexsym, amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[brazil]{babel} \usepackage{epsfig} \usepackage{indentfirst} % faz primeiro parágrafo \usepackage{setspace} \bibliographystyle{acm} \pagestyle{myheadings} % Tamanho das margens \setlength{\topmargin}{1.5cm} \setlength{\topskip}{0.3in} % between header and text \setlength{\textheight}{20.7cm} % height of main text \setlength{\textwidth}{14cm} % width of text \setlength{\oddsidemargin}{1.5cm} % odd page left margin \setlength{\evensidemargin}{1.5cm} % even page left margin %%% ---------------------------------------------------------------------- \newcommand{\cqd}{\hspace{10pt}\rule{5pt}{5pt}} \newcommand{\realpo}{{\rm I\!R}^+} \newcommand{\real}{{\rm I\!R}} \newcommand{\natur}{{\rm I\!N}} \newcommand{\sen}{{\,\rm sen\,}} \newcommand{\tg}{{\,\rm tg\,}} \newcommand{\ctg}{{\,\rm ctg\,}} \newcommand{\cplex}{{\rm I\hspace{-6pt}C}} \newcommand{\inte}{{\rm Z\!\!\Z}} \begin{document} \markboth{Revista Ciências Exatas e Naturais, Vol.x , nº.x, Jul/Dez, 2009}{\emph{2010}} %------------------------------------------------------------------------- \begin{center} \vspace{-2.5cm} {\Large \textbf{2010}}\\ \vspace{1.0cm} {\Large \textbf{2010}}\\ \vspace{1.0cm} \textbf{Autor}\\ \vspace{0.5cm} \textbf{Autor}\\ \end{center} \thispagestyle{empty} \noindent \textbf{Resumo:} Este artigo propõe um método para simplificação do modelo tradicional do escalonamento de sistemas de $m$ equações e $n$ incógnitas, usando somente determinante de ordem dois. O método proposto é aplicado e desenvolvido em uma sequência de sistemas de equações lineares destacando a sua simplicidade de utilização. \\ %------------------------------------------------------------------------- \noindent {\bf Palavras-chave:} Sistemas de equações lineares; Escalonamento; Determinante de ordem dois. \\ %-------------------------------------------------------------------------- \noindent \textbf{Abstract:} This paper proposes a method for simplification of the traditional model of scheduling systems of $m$ equations in $n$ unknowns, using only determinant of order two. The proposed method is applied and developed in a sequence of systems of linear equations emphasizing its simplicity of use. \\ %------------------------------------------------------------------------- \noindent {\bf Key words:} Systems of linear equations; Scheduling; Determinant of order two. %---------------------------------------------------------------------------- \section{Introdução} O presente artigo descreve um método para simplificação do modelo tradicional do escalonamento para sistemas de equações lineares de ordem quaisquer. O referido método denominado S.M.E.D, acrônimo para ``Simplificação do Método do Escalonamento usando Determinante de ordem dois'' fornece a solução de um sistema de $m$ equações lineares a $n$ incógnitas com duas características relevantes em relação ao método tradicional do escalonamento: (i) Aspectos pedagógicos, que representam a facilidade com que os alunos aplicam o S.M.E.D; (ii) Aspectos temporais, que representam o tempo necessário para operar o S.M.E.D em um cenário de sala de aula. Além dessas características o S.M.E.D possui outra exclusivamente associada ao seu modo de operação: ele opera utilizando somente determinante de ordem dois independentemente do número de equações e incógnitas que um sistema venha a possuir. Isso significa que sua utilização se torna acessível a qualquer estudante que tenha tido contato com Álgebra Linear básica. Para propor o S.M.E.D apresentou-se uma sequência de sistemas de equações lineares. Cada um desses sistemas, incluindo um sistema genérico, foi resolvido tanto pelo método tradicional do escalonamento como pelo S.M.E.D. Afinal, obteve-se a mesma solução, justificada pelas operações elementares. Desta forma, buscou-se salientar as vantagem do uso do método proposto. %---------------------------------------------------------------------------- Um sistema de equações lineares com $m$ equações e $n$ incógnitas é um conjunto de equações da forma: \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n&=& b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2n}x_n&=& b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\cdots+a_{2n}x_n&=& b_3 \\ \vdots&& \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\cdots+a_{mn}x_n&=& b_m \end{array} \right. \label{sistema geral} \end{eqnarray} % com $a_{ij}$, $1\leq i\leq m$, $1\leq j \leq n$, números reais. Uma solução do sistema $(\ref{sistema geral})$ é uma n-upla de números $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\in\real^n$ que satisfaça simultaneamente estas $m$ equações. O método mais simples e eficiente para resolver sistemas lineares é o do es\-ca\-lo\-na\-men\-to, conforme os trabalhos \cite{Lima,L.C.W.M, Boldrini, kolman,Goncalves} . Embora este método esteja consagrado por seu uso secular e, ao mesmo tempo, atual, este trabalho propõem uma nova forma de usar escalonamento utilizando somente determinantes de ordem dois. Esta proposta vem ao encontro de simplificar ainda mais a utilização do escalonamento. O método tradicional do escalonamento opera sobre as matrizes abaixo, que são a matriz e a matriz aumentada do sistema $(\ref{sistema geral})$: % \begin{eqnarray} \left[ \begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn} \end{array} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left[ \begin{array}{cccccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}& b_1 \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}& b_2 \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{2n}&b_3 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}& b_m \end{array} \right] \label{matriz aumentada} \end{eqnarray} Diz-se que uma matriz é escalonada quando o primeiro elemento não nulo de cada uma das suas linhas situa-se à esquerda do primeiro elemento não nulo da linha seguinte. Além disso, as linhas que tiverem todos elementos iguais a zero devem estar abaixo das demais. \cite{Poole} Um sistema escalonado (isto é, um cuja matriz é escalonada) pode ser facilmente resolvido de baixo para cima, obtendo-se primeiro o valor da última incógnita, substituindo-a por esse valor na equação anterior, e assim por diante. \cite{L.C.W.M} O método do escalonamento se baseia no fato de que todo sistema é equivalente a um sistema escalonado. Partindo do sistema $(\ref{sistema geral})$, chega-se a um sistema escalonado equivalente por meio de uma sequência de operações elementares \cite{Boldrini}, que são as seguintes: \begin{description} \item[E1)] Permuta das i-ésimas e k-ésimas equações do sistema. Notação: $L_i\leftrightarrow L_k$, com $1\leq i \leq m$ e $1\leq k\leq m$; \item[E2)] Substituição da i-ésima equação pela i-ésima equação multiplicada por um escalar não nulo $\alpha$. Notação: $L_i\leftarrow\alpha L_i$, $1\leq i\leq m$; \item[E3)] Substituição da i-ésima equação pela i-ésima equação mais $\alpha$ vezes a k-ésima equação. Notação: $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_k$, com $1\leq i \leq m$ e $1\leq k\leq m$. \end{description} % A partir do sistema escalonado é possível encontrar a sua solução. O sistema $(\ref{sistema geral})$, que é equivalente ao sistema escalonado, diz-se possível indeterminado (S.P.I), impossível (S.I) ou possível determinado (S.P.D) quando admite mais de uma solução, nenhuma solução ou uma única solução respectivamente.\cite{Leon} Com base no sistema tradicional de escalonamento, resumidamente desenvolvido acima, é proposto nas demais seções um método de escalonamento para até um sistema de $m$ equações lineares a $n$ incógnitas utilizando somente determinante de ordem dois. \section{Simplificação do Método do Escalonamento usan\-do determinante de ordem dois (S.M.E.D)} \label{Sistema n por n} \subsection{Sistema de uma equação e uma incógnita} \label{1 incognita} Considera-se um sistema de uma equação e uma incógnita, dado por $$ax=b,$$ onde $a$, $x$ e $b$ são números reais \cite{Boldrini}. Somos, imediatamente tentados a dizer que a solução desta equação é $x=\frac{b}{a}$. Entretanto, para saber se uma tal solução desta equação realmente existe, ou se é única é necessário avaliar as três possibilidades abaixo: % \begin{enumerate} \item Se $a\neq 0$, então $x=\frac{b}{a}$, que é a única solução da equação, qualquer que seja o valor de $b$, S.P.D. \item Se $a=0$, há duas possibilidades, dependendo do valor de $b$: \begin{enumerate} \item Se $b\neq 0$. Temos $0\cdot x=b$. Não existe solução para esta equação, S.I. \item Se $b=0$. Então temos $0\cdot x=0$ e qualquer número real será solução da equação, S.P.I. \end{enumerate} \end{enumerate} As mesmas possibilidades ocorrem no caso geral de $m$ equações a $n$ incógnitas, como veremos. \subsection{Sistema de duas equações e uma incógnitas} \label{1 incognitas e 2 equacoes} Um sistema linear de duas equações e uma incógnita é dado por \begin{eqnarray} %\begin{eqnarray} \label{eq:lambdapsa} \left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x_1&=& b_1 \\ a_{21}x_1&=& b_2 \end{array} \right. \label{sistema de 1 eq e 2 incognita} \end{eqnarray} cuja solução, quando existe, é o conjunto formado por $x_1\in\real$. Uma das maneiras de resolver o sistema $(\ref{sistema de 1 eq e 2 incognita})$ é obter os conjuntos soluções das equações $a_{11}x_1= b_1$ e $a_{21}x_1=b_2$ separadamente, como foi feito na seção $(\ref{1 incognita})$ e depois fazer a intersecção desses conjuntos soluções obtendo-se assim a solução do sistema $(\ref{sistema de 1 eq e 2 incognita})$. \subsection{Sistema de duas equações e duas incógnitas} \label{2 incognitas} Considera-se um sistema linear de duas equações e duas incógnitas dado por \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2&=& b_2. \end{array} \right. \label{sistema de ordem 2 original} \end{eqnarray} Para obter a solução do sistema $(\ref{sistema de ordem 2 original})$ aplica-se o método do escalonamento tradicional com o objetivo de visualizar o S.M.E.D. Para isso avalia-se dois casos: \begin{description} \item[3.3.1)] $a_{i1}=0$ para todo $i=1,2$. Se os coeficientes $a_{11}$ e $a_{12}$ forem iguais a zero, pode-se escolher $x_1$ como igual a uma constante arbitrária, não afetando o valor de $x_2$. Para encontrar $x_2$ resolve-se o sistema \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcc} a_{12}x_2&=& b_1 \\ a_{22}x_2&=& b_2 \end{array} \right. \label{sistema de ordem 2 1 in} \end{eqnarray} como foi feito em $(\ref{1 incognitas e 2 equacoes})$. Para determinar a solução do sistema $(\ref{sistema de ordem 2 1 in})$, que é equivalente ao sistema $(\ref{sistema de ordem 2 original})$, tem-se: % \begin{itemize} \item Se as equações em $x_2$ não existem, ou seja, $a_{12}=b_1=a_{22}=b_2=0$, a solução é uma reta, S.P.I. \item Se um só valor de $x_2$ é determinado por essas duas equações então a solução do sistema é um ponto, S.P.D. \item Se as duas equações são incompatíveis então o sistema não tem solução, S.I. \end{itemize} \item[3.3.2)]{$a_{i1}\neq 0$ para algum $i=1,2$}. Considera-se: \begin{description} \item[3.3.2.1)] $a_{11}\neq 0$ Se $a_{11}\neq 0$ no sistema $(\ref{sistema de ordem 2 original})$, aplica-se o escalonamento com uso das operações elementares % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{cccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1 &\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2&=& b_2 & L_2\leftarrow a_{11}L_2 \end{array} \right. \end{eqnarray} ou ainda, $$ \left\{ \begin{array}{rclc} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1 &\\ a_{11}a_{21}x_1+a_{11}a_{22}x_2&=& a_{11}b_2 & L_2\leftarrow L_2-a_{21}L_1 \end{array} \right. $$ chega-se a um sistema escalonado equivalente \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rclc} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1 &\\ (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{21})x_2&=& a_{11}b_2-a_{21}b_1. & \end{array} \right. \label{sistema de ordem 2 escalonado} \end{eqnarray} A passagem de $(\ref{sistema de ordem 2 original})$ para $(\ref{sistema de ordem 2 escalonado})$ pode ser interpretada simplesmente com o cálculo do determinante de ordem $2$, ou seja, % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1 \\ \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|x_2&=& \left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{array} \right|. \end{array} \right. \label{sistema de ordem 2 escalonado com det} \end{eqnarray} É importante salientar que a representação do sistema $(\ref{sistema de ordem 2 escalonado com det})$ introduz o S.M.E.D para sistemas de duas equações e duas incógnitas. Descreveremos a seguir mais alguns casos de aplicação do S.M.E.D para sistemas de outras ordens incluindo o caso de $m$ equações e $n$ incógnitas. Representando-se \begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl} a_{22}^*=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right|&,& b_{2}^*=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&b_{1} \\ a_{21}&b_{2} \end{array} \right| \end{array} \end{eqnarray*} % no sistema $(\ref{sistema de ordem 2 escalonado com det})$, temos % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1 \\ a_{22}^*x_2&=& b_2^*. \end{array} \right. \label{sistema de ordem 2 escalonado 1} \end{eqnarray} A solução do sistema $(\ref{sistema de ordem 2 escalonado 1})$, que é equivalente ao sistema $(\ref{sistema de ordem 2 original})$, depende da solução da equação $a_{22}^*x_2=b_2^*$, ou seja % \begin{itemize} \item se existem infinitos valores para $x_2$, a equação em $x_2$ não existe, então resta a primeira, que define uma reta, S.P.I; \item se um só valor de $x_2$ é determinado por essa equação então a solução do sistema é um ponto, S.P.D; \item se não existe um valor de $x_2$, então o sistema não tem solução, S.I. \end{itemize} % % \item[3.3.2.2)] $a_{11}=0$. Se $a_{11}=0$ no sistema $(\ref{sistema de ordem 2 original})$ tem-se $a_{21}\neq 0$. Troca-se a posição relativa da primeira e da segunda equações e procede-se (a menos de uma troca de coeficientes) como foi feito em $(3.3.2.1)$. \end{description} \end{description} % \subsection{Sistema de três equações e duas incógnitas} \label{2 incognitas e 3 equacoes} Uma sistema de três equações e duas incógnitas é dado por \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2&=& b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2&=& b_3 \end{array} \right. \label{3 equacoes 2 incognitas} \end{eqnarray} Como foi feito anteriormente, a princípio resolve-se o sistema $(\ref{3 equacoes 2 incognitas})$ pelo método do escalonamento tradicional buscando a equivalência com o S.M.E.D. Analisa-se dois casos: % \begin{description} \item[3.4.1)] $a_{i1}=0$ para todo $i=1,2,3$. Se $a_{i1}=0$ para todo $i=1,2,3$, pode-se escolher $x_1$ como igual a uma cons\-tan\-te arbitrária, isso não afetará o valor de $x_2$. Para encontrar $x_2$ obtém-se os conjuntos soluções de cada uma das três equação % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ccc} a_{12}x_2&=& b_1\\ a_{22}x_2&=& b_2\\ a_{32}x_2&=& b_3 \end{array} \right. \label{3 equacoes 1 incognita} \end{eqnarray} separadamente, como foi feito na seção $(\ref{1 incognita})$. A solução do sistema $(\ref{3 equacoes 2 incognitas})$ é: \begin{itemize} \item Uma reta, S.P.I , se as equações em $x_2$ não existem, ou seja, $a_{12}=b_1=a_{22}=b_2=a_{32}=b_3=0$; \item Um ponto, S.P.D, se um só valor de $x_2$ é determinado por essas três equações; \item O conjunto vazio, S.I, se as três equações são incompatíveis. \end{itemize} % % \item[3.4.2)] $a_{i1}\neq 0$ para algum $i=1,2,3$ Considera-se dois casos: % \begin{description} \item[3.4.2.1)] $a_{11}\neq 0$ Se $a_{11}\neq 0$ em $(\ref{3 equacoes 2 incognitas})$, efetua-se o escalonamento aplicando as operações elementares % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{cccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1 &\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2&=& b_2 & L_2\leftarrow a_{11}L_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2&=& b_3 & L_3\leftarrow a_{11}L_3 \end{array} \right. \end{eqnarray} e ainda, % % $$ \left\{ \begin{array}{rclc} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1 &\\ a_{11}a_{21}x_1+a_{11}a_{22}x_2&=& a_{11}b_2 & L_2\leftarrow L_2-a_{21}L_1\\ a_{11}a_{31}x_1+a_{11}a_{32}x_2&=& a_{11}b_3 & L_3\leftarrow L_3-a_{31}L_1\\ \end{array} \right. $$ logo \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1 \\ (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})x_2&=& a_{11}b_2-a_{21}b_1\\ (a_{11}a_{32}-a_{31}a_{12})x_2&=&a_{11}b_3-a_{31}b_1\\ \end{array} \right. \label{sistema 3 equacoes com 2 incognitas escalonado} \end{eqnarray} Observando os sistemas $(\ref{3 equacoes 2 incognitas})$ e $(\ref{sistema 3 equacoes com 2 incognitas escalonado})$ concluí-se que a passagem de um para o outro pode ser interpretada simplesmente com o cálculo do determinante de ordem $2$, isto é, usando o S.M.E.D % \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1 \\ \left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right|x_2&=& \left| \begin{array}{cc} a_{11}&b_{1}\\ a_{21}&b_{2} \end{array} \right|\\\\ \left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{31}&a_{32} \end{array} \right|x_3&=& \left| \begin{array}{cc} a_{11}&b_{1}\\ a_{31}&b_{3} \end{array} \right|.\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*} Denotando-se \begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} a_{22}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right|, & & b_{2}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&b_{1}\\ a_{21}&b_{2} \end{array} \right| \\ \\ a_{32}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{31}&a_{32} \end{array} \right|,&&b_{3}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&b_{1} \\ a_{31}&b_{3} \end{array} \right| \\ \end{array} \end{eqnarray*} % tem-se % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=& b_1\\ a_{22}^{*}x_2&=& b_2^{*}\\ a_{32}^{*}x_2&=& b_3^{*}\\ \end{array} \right. \label{sistema de 3 equacoes com 2 incognitas} \end{eqnarray} Para determinar a solução do sistema $(\ref{3 equacoes 2 incognitas})$, equivalente ao sistema $(\ref{sistema de 3 equacoes com 2 incognitas})$, analisa-se a segunda e a terceira equações separadamente da mesma maneira como foi desenvolvido na seção $(\ref{1 incognita})$. Se: \begin{itemize} \item as equações em $x_2$ não existem, ou seja, $a_{22}=b_2=a_{32}=b_3=0$, então resta a primeira, que define uma reta, S.P.I; \item se um só valor de $x_2$ é determinado por essas duas últimas equações então a solução do sistema é um ponto, S.P.D; \item se as duas equações finais são incompatíveis então o sistema não tem solução, S.I. \end{itemize} \item[3.4.2.2)] $a_{11}=0$. Se $a_{11}=0$ no sistema $(\ref{3 equacoes 2 incognitas})$, tem-se pelo menos $a_{p1}\neq 0$ para $p=2,3$. Considera-se sem perda de generalidade, $a_{21}\neq 0$. Troca-se a posição relativa da primeira e da segunda equações e procede-se (a menos de uma troca de coeficientes) como foi feito em $(3.4.2.1)$. \end{description} \end{description} \subsection{Sistema de três equações e três incógnitas} \label{3 incognitas} Considere o sistema de três equações e três incógnitas \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=& b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=& b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=& b_3 \end{array} \right.\label{sistema de ordem 3} \end{eqnarray} Para solucioná-lo, inicialmente aplica-se o método do escalonamento tradicional para depois visualizar o S.M.E.D. Tem-se dois casos: \begin{description} \item[3.5.1)] $a_{i1}=0$ para todo $i=1,2,3$. Se $a_{i1}=0$ para todo $i=1,2,3$, recai-se a um sistema de três equações e duas incógnitas conforme foi analisado na seção $(\ref{2 incognitas e 3 equacoes})$. \item[3.5.2)] $a_{i1}\neq 0$ para algum $i=1,2,3$. Temos dois casos a considerar: \begin{description} \item[3.5.2.1)] $a_{11}\neq 0$. Se $a_{11}\neq 0$ em $(\ref{sistema de ordem 3})$, aplica-se o escalonamento procedendo com as operações elementares \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{cccc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=& b_1 &\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=& b_2 & L_2\leftarrow a_{11}L_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=& b_3 & L_3\leftarrow a_{11}L_3 \end{array} \right. \end{eqnarray} % segue $$ \left\{ \begin{array}{rclc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=& b_1 &\\ a_{11}a_{21}x_1+a_{11}a_{22}x_2+a_{11}a_{23}x_3&=& a_{11}b_2 & L_2\leftarrow L_2-a_{21}L_1\\ a_{11}a_{31}x_1+a_{11}a_{32}x_2+a_{11}a_{33}x_3&=& a_{11}b_3 & L_3\leftarrow L_3-a_{31}L_1\\ \end{array} \right. $$ % logo % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=& b_1 \\ (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})x_2+(a_{11}a_{23}-a_{21}a_{13})x_3&=& a_{11}b_2-a_{21}b_1\\ (a_{11}a_{32}-a_{31}a_{12})x_2+(a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31})x_3&=&a_{11}b_3-a_{31}b_1\\ \end{array} \right. \label{sistema de ordem 3 escalonado} \end{eqnarray} Note que a passagem de $(\ref{sistema de ordem 3})$ para $(\ref{sistema de ordem 3 escalonado})$ pode ser interpretada simplesmente calculando determinante de ordem $2$. A representação do sistema usando o S.M.E.D está ilustrada abaixo % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=& b_1 \\ \left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right|x_2+\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{13} \\ a_{21}&a_{23} \end{array} \right|x_3&=& \left| \begin{array}{cc} a_{11}&b_{1} \\ a_{21}&b_{2} \end{array} \right|\\\\ \left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{31}&a_{32} \end{array} \right|x_2+\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{13}\\ a_{31}&a_{33} \end{array} \right|x_3&=& \left| \begin{array}{cc} a_{11}&b_{1}\\ a_{31}&b_{3} \end{array} \right|.\\ \end{array} \right.\label{sistema 3 por 3 com det} \end{eqnarray} Denotando-se \begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} a_{22}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right|, & a_{23}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{13} \\ a_{21}&a_{23} \end{array} \right|,& b_{2}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&b_{1}\\ a_{21}&b_{2} \end{array} \right| \\ \\ a_{32}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{31}&a_{32} \end{array} \right|, & a_{33}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{13}\\ a_{31}&a_{33} \end{array} \right|,& b_{3}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&b_{1} \\ a_{31}&b_{3} \end{array} \right| \\ \end{array} \end{eqnarray*} % escreve-se o sistema $(\ref{sistema 3 por 3 com det})$ por % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=& b_1\\ a_{22}^{*}x_2+a_{23}^{*}x_3&=& b_2^{*}\\ a_{32}^{*}x_2+a_{33}^{*}x_3&=& b_3^{*}, \end{array} \right. \label{sistema de ordem 3 quase escalonado 1} \end{eqnarray} onde avalia-se dois casos: \begin{description} \item[3.5.2.1.1)] $a_{i2}^{*}\neq 0$ para algum $i=2,3$; Podemos admitir (trocando a ordem das duas últimas equações, se necessário) que $a_{22}^{*}\neq 0$. Da mesma forma que fizemos a passagem de $(\ref{sistema de ordem 2 original})$ para $(\ref{sistema de ordem 2 escalonado 1})$, temos que $(\ref{sistema de ordem 3 quase escalonado 1})$ implica em % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=& b_1\\ a_{22}^{*}x_2+a_{23}^{*}x_3&=& b_2^{*}\\ a_{33}^{**}x_3&=& b_3^{**}, \end{array} \right. \label{sistema de ordem 3 quse escalonado 2} \end{eqnarray} onde \begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl} a_{33}^{**}=\left| \begin{array}{cc} a_{22}^{*}&a_{23}^{*} \\ a_{32}^{*}&a_{33}^{*} \end{array} \right|&e& b_{3}^{**}=\left| \begin{array}{cc} a_{22}^{*}&b_{1}^{*} \\ a_{32}^{*}&b_{3}^{*} \end{array} \right|. \end{array} \end{eqnarray*} são coeficientes representados por determinantes de ordem dois conforme proposto pelo S.M.E.D. A solução do sistema $(\ref{sistema de ordem 3 quse escalonado 2})$, que é equivalente ao sistema $(\ref{sistema de ordem 3})$, depende da solução da equação $a_{33}^{**}x_3= b_3^{**}$. Considera-se três casos: \begin{itemize} \item se $a_{33}^{**}=0$ e $b_3^{**}\neq 0$, o sistema será impossível, S.I; \item se $a_{33}^{**}=0$ e $b_{3}^{**}=0$, restam a primeira e a segunda equações, que definem uma reta, S.P.I, visto que $x_3$ é um real qualquer; \item se $a_{33}^{**}\neq 0$, um só valor de $x_3$ é determinado por esta equação, isto mostra que a solução é um ponto, S.P.D. \end{itemize} \item[3.5.2.1.2)] $a_{i2}^{*}= 0$ para todo $i=2,3$. Se $a_{i2}^{*}= 0$ para todo $i=2,3$ o sistema $(\ref{sistema de ordem 3 quase escalonado 1})$, reduz-se \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=& b_1\\ a_{23}^{*}x_3&=& b_2^{*}\\ a_{33}^{*}x_3&=& b_3^{*}. \end{array} \right.\label{sistema de ordem 3 quse escalonado 22} \end{eqnarray} Para determinar a solução do sistema $(\ref{sistema de ordem 3 quse escalonado 22})$, que é equivalente ao sistema $(\ref{sistema de ordem 3})$, analisa-se a segunda e terceira equações como foi feito na seção $(\ref{1 incognita})$. Se: \begin{itemize} \item as equações em $x_3$ não existem, ou seja, $a_{23}=b_2=a_{33}=b_3=0$, então resta a primeira, que define um plano, S.P.I; \item se um só valor de $x_3$ é determinado por essas duas últimas equações então a solução do sistema é um ponto, S.P.D; \item se as duas equações finais são incompatíveis então o sistema não tem solução, S.I. \end{itemize} \end{description} \item[3.5.2.2)] $a_{11}=0$. Se $a_{11}=0$ tem-se pelo menos $a_{p1}\neq 0$ para $p=2,3$. Considera-se sem perda de generalidade, $a_{21}\neq 0$. Troca-se a posição relativa da primeira e da segunda equações e procede-se (a menos de uma troca de coeficientes) como foi feito em $(3.5.2.1)$. \end{description} \end{description} \subsection{Sistema de $m$ equações a $n$ incógnitas} \label{m equacoes e n incognitas} Nas seções anteriores foram abordados sistemas de três equações e três incógnitas e alguns casos de menor ordem nos quais utilizou-se o S.M.E.D. A equivalência do escalonamento tradicional e do S.M.E.D foi ilustrada em todos os casos abordados. A representação da solução dos sistemas através do determinante de ordem dois ficou evidenciada nas respectivas seções. Nesta seção desenvolveremos o S.M.E.D para um sistema qualquer de $m$ equações e $n$ incógnitas justificando-se a equivalência dos sistemas através das operações ele\-men\-ta\-res $E1$,$E2$ e $E3$ fundamentadas no método do escalonamento tradicional, para isto considere o sistema $(\ref{sistema geral})$, o qual, mediante aplicações sucessivas de determinantes de ordem $2$, produz um sistema equivalente escalonado. Temos dois casos a considerar referente ao sistema $(\ref{sistema geral})$: \begin{description} \item[3.6.1)] $a_{i1}=0$. Pode acontecer que todos os coeficientes $a_{i1}$ na primeira ``coluna" referentes a primeira incógnita sejam nulos. Se isso acontecer, podemos escolher $x_1$ como igual a uma constante arbitrária. Isso não afetará os valores de $x_2,\cdots, x_n$ e podemos passar a considerar $x_2$ ou, mais geralmente, a coluna mais próxima, à direita da primeira, onde haja algum elemento não-nulo e opera-se (como descreveremos em $3.6.2$) de modo a obter uma matriz cuja primeira coluna não-nula começa com um elemento diferente de zero mas todos os demais sejam iguais a zero. A partir de então fixa-se a primeira linha. \item[3.6.2)] $a_{i1}\neq 0$. Se pelo menos um dos $a_{i1}$ é não-nulo, pode-se escolher qualquer um destes coeficientes não-nulos, por exemplo, $a_{p1}$, trocar a posição relativa da primeira e da $p$-ésima equações, e usar esta equação para eliminar $x_1$ das $m-1$ equações restantes através do uso de determinantes de ordem $2$. O resultado final é um conjunto de equações da seguinte forma: % \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n&=& b_1 \\ a_{22}^*x_2+a_{23}^*x_3+\cdots+a_{2n}^*x_n&=& b_2^* \\ a_{32}^*x_2+a_{33}^*x_3+\cdots+a_{3n}^*x_n&=& b_3^* \\ \vdots&=& \vdots\\ a_{m2}^*x_2+a_{m3}^*x_3+\cdots+a_{mn}^*x_n&=& b_m^* \end{array} \right. \label{sistema de ordem m por n e1} \end{eqnarray} onde \begin{eqnarray*} \begin{array}{cc} a_{ij}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{1j}\\ a_{i1}&a_{ij} \end{array} \right|, & b_{i}^{*}=\left| \begin{array}{cc} a_{11}&b_{1}\\ a_{i1}&b_{i} \end{array} \right| \end{array} \end{eqnarray*} com $2 \leq i\leq m$ e $2 \leq j\leq n$. Observa-se que a passagem de $(\ref{sistema geral})$ para $(\ref{sistema de ordem m por n e1})$ é justificada aplicando as seguintes operações elementares: \begin{enumerate} \item $L_i\leftarrow a_{11}L_i$ com $2 \leq i\leq m$ e $a_{11}\neq 0$; \item $L_i\leftarrow L_i-a_{i1}L_i$ com $2 \leq i\leq m$. \end{enumerate} que são fundamentadas no método do escalonamento tradicional. Note que o S.M.E.D eliminou a primeira incógnita das $m-1$ equações usando somente determinante de ordem $2$. Para simplificar $(\ref{sistema de ordem m por n e1})$, temos duas possibilidades. \begin{description} \item[3.6.2.1)] $a_{i2}^*=0$ com $2 \leq i\leq m$. Se todos os elementos $a_{i2}^*$ com $i=2,\cdots,m$ são nulos, passamos ime\-dia\-ta\-men\-te a considerar a terceira coluna a partir da terceira equação, ou seja, os coeficientes $a_{i3}^*$ com $i=3,\cdots,m$ ou, mais geralmente, a coluna mais próxima, à direita da segunda, onde haja algum elemento abaixo de $a_{33}^*$ não-nulo e opera-se (como descreveremos em $3.6.2.2$) de modo a obter uma matriz cuja terceira coluna não-nula possui elementos abaixo de $a_{33}^*$ iguais a zero. A partir de então fixa-se a segunda linha. \item[3.6.2.2)] $a_{i2}^*\neq 0$ com $2 \leq i\leq m$ Se pelo menos um dos elementos $a_{i2}^*$ é não-nulo, podemos escolher qualquer um deles, por exemplo $a_{q2}^*$ e trocar as posições relativas da segunda e $q$-ésima equações e usar esta equação para eliminar $x_2$ das $m-2$ equações restantes através do uso de determinantes de ordem $2$. O resultado final é um conjunto de equações da seguinte forma: \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcc} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n&=& b_1 \\ a_{22}^*x_2+a_{23}^*x_3+\cdots+a_{2n}^*x_n&=& b_2^* \\ a_{33}^{**}x_3+\cdots+a_{3n}^{**}x_n&=& b_3^{**} \\ \vdots&=& \vdots\\ a_{m3}^{**}x_3+\cdots+a_{mn}^{**}x_n&=& b_m^{**} \end{array} \right. \label{sistema de ordem m por n e2} \end{eqnarray} onde \begin{eqnarray*} \begin{array}{cc} a_{ij}^{**}=\left| \begin{array}{cc} a_{22}^* & a_{2j}^* \\ a_{i2}^* & a_{ij}^* \end{array} \right|, & b_{i}^{**}=\left| \begin{array}{cc} a_{22}^* & b_{2}^* \\ a_{i2}^* & b_{i}^* \end{array} \right| \end{array} \end{eqnarray*} com $3 \leq i\leq m$ e $3 \leq j\leq n$. \end{description} Esse processo é então repetido até que tenhamos tratado de todas as colunas do sistema. \end{description} %---------------------------------------------------------------------------- \section{Conclusão e Perspectivas} \label{Conclusao} Neste artigo foi desenvolvido um método para resolver sistemas de equações lineares de $m$ equações a $n$ incógnitas. Para isto apresentou-se uma sequência de sistemas de equações lineares que foram resolvidos pelo método tradicional do escalonamento e pelo S.M.E.D. Foram então observados os aspectos pedagógicos, que representam a facilidade de aprendizagem do S.M.E.D e os aspectos temporais visando o tempo necessário para operar com o método. Conclui-se que a principal contribuição do mesmo é a sua simplicidade de utilização pois facilita o processo de obtenção da solução de um sistema de equações lineares de ordem qualquer utilizando somente o determinante de ordem dois, que representa uma ferramenta básica da Álgebra Linear. %---------------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------------- %onde encontrar abreviatura de revistas http://ccn.ibict.br/busca.jsf %ou http://www.ibict.br/secao.php?cat=ISSN/Rede%20ISSN %---------------------------------------------------------------------------- \bibliography{refRECEN} %---------------------------------------------------------------------------- \end{document}